La cosmovisión de la teoría del caos, pt. 2/2

Hoy vemos el atractor extraño y la forma en que lo usé en mi tesis doctoral.

Guión

 Todos hemos estado en una plaza comercial o un edificio que tiene un mapa del sitio, en alguna parte del cual hay una flecha o un punto que indica donde estás tú. Una vez vi una caricatura de un mapa para un Instituto de Estudios Filosóficos. En vez de decir “Tú estás aquí” dice “¿Por qué estás aquí?” Muy bueno! Pues, la finalidad de ese tipo de mapa es la navegación, facilitar tu traslado de punto A a punto B. Los mapas que trazamos en el último vídeo representan no objetos estáticos, como edificios, sino procesos dinámicos cuyas variables cambian sobre el tiempo. Su finalidad no es la navegación, sino la predicción. Un aspecto muy valioso de estos mapas es que muestran la conducta del sistema a largo plazo, el estado o dinámica al que el sistema está atraído. Es a eso que se refiere cuando se habla del atractor de un sistema. En el último vídeo, vimos tres atractores principales: el punto fijo, el ciclo límite y el toro. Estos, y ciertas combinaciones de los mismos, bastan para modelar la conducta de muchos sistemas, al menos para los fines prácticos de los seres humanos. Sin embargo, los sistemas lineales que nos rodean en la experiencia pueden de repente volverse turbulentos y caóticos. (Ruido de trueno). ¿Ya ves? Dijeron que hoy iba a estar soleado y ahora viene una tormenta. ¡Los meteorólogos no son de fiar! Bueno, todos sabemos eso, pero la culpa no es de ellos. Para ver por qué y qué se puede hacer al respecto, hablemos un poco de uno de los padres de la teoría del caos, Edward Lorenz.
En los años 60, Lorenz, un matemático y meteorólogo, estaba usando computadoras para modelar la atmósfera de la Tierra. Un día, al elaborar un pronóstico del clima, registró datos en la computadora para una serie de variables, lo cual le dio una predicción para el estado futuro del clima de la región que estaba analizando. Tiempo después, queriendo esclarecer unos detalles, volvió al pronóstico y registró nuevamente los datos sobre las variables del sistema, pero esta vez la computadora le dio un pronóstico totalmente distinto. ¿Por qué? La primera vez que hizo el cálculo, registró los datos a seis cifras decimales. La segunda vez, sólo a tres. Este pequeñísimo cambio tuvo un impacto enorme sobre los resultados. Como dijo Lorenz: “Esto implica que dos estados que se difieren por cantidades imperceptibles puedan evolucionar eventualmente en dos estados considerablemente distintos. Entonces, si existe cualquier error en la observación del estado actual – y en los sistemas reales tales errores parecen ser inevitables – una predicción aceptable al futuro lejano puede ser imposible”.
Lo que Lorenz descubrió fue una de las características definitorias de la teoría del caos, a saber, que los sistemas dinámicos no-lineales exhiben una dependencia sensitiva a condiciones iniciales. Esta idea se ilustra en la célebre noción del “efecto mariposa”. Imagínate dos mundos idénticos, salvo en el hecho de que uno de ellos tiene una mariposa más que el otro. Agregando el aletear de las alas de esa mariposa, un cambio ínfimo con respecto al otro mundo, puede resultar en trayectorias muy distintas para el clima de los dos, por ejemplo un tornado que se da una semana después en Kansas en uno de los mundos, pero no en el otro. Lo que esto ilustra es que los sistemas dinámicos en la naturaleza no pueden entenderse al aislarlos del sistema dinámico del mundo en su totalidad. En otras palabras, concebir el mundo como simplemente la suma de sus partes, como si fuera un gran mecanismo mecánico, no es viable porque las partes son sensitivamente conectadas y dependientes entre sí.
Lo que Lorenz aprendió de su experiencia es que hacía falta otra forma de modelar el sistema del clima. El abordaje cuantitativo que los meteorólogos habían usado tradicionalmente se apoyaba en ecuaciones que producían atractores multidimensionales tipo toro, pero la capacidad previsora que les daba se extendía sólo a un par de días. Dándose cuenta de los límites de esta forma de entender el sistema del clima, Lorenz intentó acercarse al fenómeno de forma cualitativa. Con la ayuda de la enorme capacidad procesadora de la computadora, logró producir un mapa de las complejas trayectorias de las ecuaciones no-lineales. El resultado fue uno de los descubrimientos más fascinantes de la teoría del caos: el atractor extraño. Lo que tenemos aquí es una visualización de la dinámica del sistema del clima sobre el tiempo, parecido a los mapas que trazamos en el primer vídeo. Pero éste es especial, de hecho extraño. Extraño porque reconcilia dos características aparentemente contradictorias: modela conducta que por un lado es aperiódica, y que por el otro tiene variables cuyas trayectorias caen dentro de una área finita del espacio de fase.
Es importante que entendamos bien lo que está pasando aquí. Un sistema periódico tiene variables, como desplazamiento y velocidad, que se repiten de forma regular. ¿Te acuerdas de los lucios y las truchas del vídeo anterior? El mapa que trazamos en el espacio de fase muestra la conducta de las poblaciones sobre el tiempo. Una población sube, la otra baja, y luego vuelven a estar iguales y el ciclo empieza otra vez. Las trayectorias de las dos poblaciones se cruzan de forma regular en el mapa; o sea, es un sistema periódico, su conducta se repite.
Un sistema caótico, en cambio, es aperiódico. Esto significa que las trayectorias de sus variables no se repiten; no hay regularidad en su conducta, sino irregularidad. En términos del espacio de fase, esto quiere decir que las trayectorias de las variables no se traslapan ni se cruzan, lo cual tiene la consecuencia de que se extienden infinitamente. Sin embargo, y esto es lo curioso, estas trayectorias se desplazan en un espacio de fase finito. Es como si tomaras un hilo infinitamente largo y trataras de meterlo en un espacio finito. ¿Cómo se puede hacer eso? ¿Que clase de figura puede posiblemente satisfacer semejantes condiciones. La respuesta se halla en la geometría fractal.
La figura de un atractor extraño no es ni un punto fijo, ni un sinusoide, ni tampoco un toro. Estos atractores son figuras de uno y dos dimensiones que no pueden satisfacer nuestras condiciones. Obviamente un atractor de dimensión uno no puede; y sobre una superficie bi-dimensional es posible que las trayectorias se crucen, por lo tanto posibilitando la conducta periódica. Por el otro lado, el atractor no puede ser tri-dimensional. La razón es muy técnica; así que mejor no la tratemos. Lo importante es que la dimensión del atractor tiene que ser menor a tres dimensiones y, para evitar la periodicidad, mayor a dos. La clase de figura que una dimensión no íntegra describe se llama fractal.
La palabra “fractal” viene del latín fractus, que significa “irregular”. Fue acuñada por el matemático Benoit Mandelbrot para describir de forma más adecuada la geometría irregular del mundo que veía a su alrededor. Publicó un artículo que se llama “¿Qué tan largo es la costa de Bretaña?” que ilustra muy bien esta geometría. Imagínate que usaras un metro para medir la costa. Vas caminando sobre la costa, colocándolo sobre el suelo y luego avanzándolo. El resultado sería sólo un aproximado porque habría rincones y recovecos en los que el metro no entra. Si usaras una vara de 10 cm, sería más preciso, y la longitud sería mayor, pero aún así sólo un aproximado porque habría recovecos incluso más chiquitos en los que no entra. Usando medidas de cada vez menor escala produciría longitudes cada vez mayores. La cuestión de si, por tanto, la costa de Bretaña sea infinitamente larga depende de cómo se conciba el espacio, es decir, si es infinitamente divisible o no. Lo que a Mandelbrot le interesa resaltar sobre la geometría fractal es la similitud entre sus diferentes escalas. El borde dentado de una piedra sobre la costa refleja el mismo contorno de la costa al verlo desde un mapa. Lo mismo puede apreciarse en muchos fenómenos del mundo: la bifurcación de los vasos sanguíneos, desde el más ancho hasta los capilares más pequeños, y la bifurcación de las ramas de un árbol, desde el tronco hasta la corona.
Volviendo al atractor extraño que descubrió Lorenz, hay que recordar que la conducta que este mapa representa es conducta caótica, turbulenta, sin periodicidad y regularidad. Pareciera que la conducta de semejante sistema se visualizaría de esta manera, con un mapa tan caótica como la conducta que representa, pero no. Las trayectorias infinitas y no repetidas se desplazan de forma no caótica, sino ordenada, como vemos aquí en el atractor extraño. Lo que permite este orden, es decir, la colocación de trayectorias infinitas en un espacio de fase finito, es la geometría fractal. Si esta imagen se ampliara y nos acercáramos a las trayectorias en el atractor, empezaríamos a ver esa geometría, a ver los famosos fractales que adornan las portadas de libros sobre el tema. Aquí vemos una simplificación de una trayectoria donde se ve claramente cómo se repite el patrón general del atractor en la gama de escalas, de la más amplia hasta la más pequeña, extendiéndose hasta el infinito.
Ahora bien, ¿de qué sirve este atractor extraño? Si volvemos al meteorólogo, tendríamos que decir que no sirve de mucho, debido precisamente a que el clima es un sistema no-lineal que exhibe una dependencia sensitiva a condiciones iniciales. Recuerda que cualquier punto en el atractor de un sistema describe la conducta del sistema en su totalidad en ese momento. El problema es que, debido al carácter sensible del sistema, una de las variables representada en ese punto puede divagar de las otras variables de forma exagerada e inesperada (recuerda el efecto mariposa). Sin embargo, y esto es lo interesante, el estado del sistema en cualquier momento tiene que permanecer en el área del atractor lo cual, de forma global, exhibe mucho orden e incluso belleza. En cuanto al sistema climático, se podría decir que a nivel local su conducta es bastante impredecible, pero que a nivel global sigue un patrón bastante estable y regular, tal como se puede apreciar en esta imagen satelital.
A mi como filósofo, lo interesante de la teoría del caos es lo que dice sobre los límites de lo que se puede conocer y predecir. Si el cosmos fuera como esa metáfora del reloj, un gran sistema mecánico cuyas partes se relacionan entre sí de forma lineal, Edward Lorenz no habría encontrado el atractor extraño. Enfatizo la palabra “encontrado” ya que Lorenz no impuso un modelo sobre su experiencia, sino que los mismos datos procesados en la computadora revelaron la naturaleza de su conducta, mostraron que obedecen una dinámica que combina orden y caos.
Y éste es el punto de enlace con mi análisis de la metafísica de C. S. Peirce. Además de ser un gran filósofo, Peirce fue un reconocido científico de su época. Su experiencia en el laboratorio y en el campo le convenció de que la medición exacta era imposible, lo cual le llevó a cuestionar el determinismo newtoniano que reinaba en su época y a postular en sus reflexiones filosóficas el azar como un elemento real e insuperable del universo. Esta combinación de ley y azar, orden y caos, era el único planteamiento, según él, capaz de explicar lo novedoso, y por tanto la vitalidad de un cosmos evolutivo. Si la especulación filosófica de Peirce es correcta, sería razonable encontrar evidencia de ella en nuestra observación de la naturaleza. Eso es lo que creo haber encontrado en las investigaciones de la teoría del caos y fue lo que traté de sostener en mi tesis.
Si quieres estudiar más a fondo este tema, puedo recomendar dos libros: “Caos: la creación de una ciencia” de James Gleick. Éste fue el libro que básicamente introdujo la teoría del caos al público amplio. Y también “Espejo y reflejo” de Briggs y Peat. Este libro es muy didáctico con muchas ilustraciones. Ojalá pudiera recomendar mi tesis doctoral pero no está publicada y dado que la escribí en la antigüedad, antes de los PDF, pues ni siquiera puedo subirla a la nube y darles una liga aquí en la descripción. ¡Ya tengo que ponerme a digitalizarla!
Bueno, para ir cerrando, un tema muy parecido y de hecho complementario al tema del caos es el de la complejidad. Hoy en día es casi imposible entrar en una librería y no ver un libro que hablé de la complejidad aplicada a un tema científico o social. Si los teóricos del caos estudian cómo conducta imprevisible emerge de sistemas deterministas, las ciencias de la complejidad estudian cómo, a partir de condiciones iniciales aleatorias, pueden surgir sistemas ordenados. La consciencia humana, las redes sociales y el internet en general, y fenómenos como colonias de hormigas y el tráfico en ciudades son ejemplos de sistemas complejos. Es un tema realmente fascinante y espero dedicar unos vídeos a ello en el futuro no tan lejano.

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2 Comments

  1. María De Lourdes González Galindo · 13/08/2017 Responder

    Darin,
    Mil gracias!!!
    Por tu grandioso esfuerzo por hacer mucho má’s accesibles temas tan complejos y con esto disminuir la ingnorancia y fanatísmo religioso en la población de México.

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